Школьная математика

44. Равенство векторов

Векторы равны, если они сонаправлены и их длины равны.

Если вектор начинается в некоторой точке, говорят, что он от неё отложен. От любой точки можно отложить вектор, равный данному, при том только один.

43. Понятие вектора в пространстве

Вектор - отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой - концом. Нулевой вектор - начало и конец совпадают - точка.

Длина ненулевого вектора равна длине отрезка, которым вектор изображается. Длина нулевого вектора равна нулю.

Два ненулевых вектора называют коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Если два ненулевых вектора коллинеарны, а лучи, их отображающие, сонаправлены, то векторы называются сонаправленными. Если лучи не сонаправлены, то векторы называются противоположно направленными. Нулевой вектор сонаправлен с любым другим вектором.

42. Элементы симметрии правильных многогранников

Правильный тетраэдр не имеет центра симметрии, имеет три оси симметрии (прямые проходящие через середины двух противоположных рёбер) и шесть плоскостей симметрии (плоскость, проходящая через одно ребро, перпендикулярно противоположному).

Куб имеет один центр симметрии (точку пересечения его диагоналей), девять осей симметрии (прямые проходящие через середины двух противоположных рёбер, не принадлежащих одной грани) и девять плоскостей симметрии (плоскости, проведенные через две любые оси симметрии).

 

41. Понятие правильного многогранника

Правильным многогранником называется такой выпуклый многогранник, у которого все грани - равные правильные многоугольники и в каждой вершине сходится одно и тоже число рёбер.

Не существует правильных многогранников, гранями которых являются n-угольники, где n≥6, так как нарушается правило, гласящее, что углы при вершине многогранника должны быть меньше 360°. Согласно этому правилу вершину правильных многоугольников могут образовывать три, четыре или пять равносторонних треугольников (такие фигуры будут называться тетраэдр, октаэдр и икосаэдр соответственно), трех квадратов (куб) или трех правильных пятиугольников (додекаэдр).

 

 

40. Симметрия в пространстве

Точки А и А1 называются симметричными относительно О (центра симметрии), если О - середина отрезка АА1. О симметрична сама себе.

Точки А и А1 называются симметричными относительно прямой а (оси симметрии), если прямая а проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна ему. Каждая точка прямой а симметрична сама себе.

Точки А и А1 называются симметричными относительно плоскости α (плоскости симметрии), если плоскость α проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна этому отрезку. Каждая точка плоскости α симметрична сама себе.

Точка (прямая, плоскость) называется центром (осью, плоскостью) симметрии фигуры, если каждая точка фигуры симметрична относительно неё некоторой точке той же фигуры. Если фигура имеет центр (ось, плоскость симметрии), то говорят, что она обладает центральной (осевой, зеркальной) симметрией.

Фигура может иметь ноль, один, несколько или бесконечно много центров (осей, плоскостей) симметрии.

38. Усеченная пирамида

Усечённой пирамидой называется многогранник, гранями которого являются два n-угольника, расположенные в параллельных плоскостях (верхнее и нижнее основания), и n четырёхугольников.

Отрезки, соединяющие вершины n-угольников - боковые рёбра усечённой пирамиды.

Перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой усечённой пирамиды.

Все боковые грани усечённой пирамиды - трапеции.

Усечённая пирамида называется правильной, если она получена сечением правильной пирамиды плоскостью, параллельной основанию. Основания правильной усечённой пирамиды - правильные многоугольники, а боковые грани - равнобедренные трапеции. Высоты этих трапеций называются апофемами. Площадью боковой поверхности усечённой пирамиды называется сумма площадей её боковых граней.

Теорема: площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему.

37. Правильная пирамида

Пирамида называется правильной, если её основание - правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является её высотой.

Все боковые рёбра правильной пирамиды равны, а боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками.

Высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из её вершины, называется апофемой.

Теорема: площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

36. Пирамида

Пирамида - многогранник, составленный из n-угольника и n треугольников. Многоугольник - основание, треугольники - боковые грани пирамиды. Общая вершина боковых граней является вершиной  пирамиды, а стороны граней, не входящие в основание, - боковыми рёбрами. Перпендикуляр, проведённый из вершины пирамиды к плоскости основания, называется высотой пирамиды. Площадью полной поверхности пирамиды называется сумма площадей всех её граней (основания и боковых граней),  а площадью боковой поверхности - сумма площадей боковых граней.

35. Пространственная теорема Пифагора

Если все плоские углы при одной вершине тетраэдра - прямые то квадрат площади грани, противолежащей этой вершине, равен сумме квадратов площадей остальных граней.

34. Призма

Многогранник, составленный из двух равных многоугольников, расположенных в параллельных плоскостях, и нескольких параллелограммов называется, называется призмой. Многоугольники называются основаниями призмы, а параллелограммы - боковыми ребрами.

Перпендикуляр, проведенной из одной точки плоскости одного основания на плоскость другого - высота призмы. Если призма прямая (то есть ее боковые стороны перпендикулярны основанию), то высота равна её боковому ребру.

Периметром призмы называют сумму периметров всех многоугольников, а площадь - сумма их площадей.

Площадь боковой поверхности призмы можно найти как произведение периметра основания на высоту призмы.