Tag Archives: теория

4. Измерение отрезков

Измерение длины отрезка заключается в его сравнении с длиной единичного отрезка, определенного стандарта, за который принят метр - одна сорокамиллионная часть длины земного меридиана. На практике в геометрии чаще используют величину, в сто раз меньшую, чем метр - сантиметр.

Равные отрезки имеют равную длину.

3. Сравнение отрезков и углов

Равными называют фигуры, имеющие одинаковые форму и размеры.

2. Луч и угол

Отмеченная на прямой точка разбивает её на два луча, исходящих из этой точки - начала луча.

1. Прямая и отрезок

Через две любые точки можно провести прямую и при этом только одну. Если прямые имеют одну общую точку, то они пересекаются в этой точке, две прямые не могут иметь более одной общей точки.

107. Парабола

Парабола - это множество всех таких точек плоскости, для которых расстояние до фиксированной точки равно расстоянию до фиксированной прямой, не проходящей через эту точку.

106. Гипербола

Гипербола - множество всех  таких точек плоскости, для которых модуль разности расстояний до двух фиксированных точек есть постоянная положительная величина. Эти точки - фокусы гиперболы.

Каноническое уравнение гиперболы: .

Свойства гиперболы:
1) Гипербола имеет центр симметрии и две оси симметрии. Та из них, на которой лежат фокусы, называется вещественной, та же, на которой они не лежат, называется мнимой.
2) В полосе , включающей мнимую ось, точки гиперболы не лежат.
3) В области между прямыми точек гиперболы нет.
4) При уравнение имеет вид
5) Гипербола имеет асимптоту
Определение директрисы аналогично таковому для эллипса.
Гипербола является множеством всех таких точек плоскости, для которых отношение расстояния до фиксированной точки (фокуса) к расстоянию до фиксированной прямой (директрисы) постоянно и больше единицы. это отношение - эксцентриситет гиперболы.
Любая прямая имеет с гиперболой не более двух общих точек.

105. Эллипс

Эллипс - множество таких точек плоскости, для которых сумма расстояний от двух фиксированных точек постоянна. Эти фиксированные точки - фокусы эллипса. Примем за 2с расстояние между фокусами, а за 2a - сумму расстояний от точки эллипса до фокусов.

Каноническое уравнение эллипса:

Свойства эллипса:

1) Эллипс имеет центр симметрии и две взаимно перпендикулярные оси симметрии, называемые осями эллипса. Расстояние от центра симметрии до эллипса по оси называется большой или малой полуосью соответственно.

2) Эллипс целиком содержится в прямоугольнике, стороны которого больше длин его осей и параллельны осям.

3) При x, y>0 каноническое уравнение может быть записано так:

Прямая, задаваемая уравнением , называется директрисой.

Таким образом, эллипс - множество таких точек плоскости, для которых отношение расстояния до фиксированной точки (фокуса) к расстоянию до фиксированной прямой (директрисы) постоянно и меньше единицы. Это отношение (равное с/а) - эксцентриситет эллипса.

Любая прямая имеет с эллипсом не более двух общих точек.

104. Теорема Чевы

Пусть на сторонах или продолжениях сторон треугольника ABC отмечены точки , ,  так, что , ,  . Тогда если прямые  пересекаются в одной точке или попарно параллельны, то pqr=1.

103. Теорема Менелая

Пусть на сторонах или продолжениях сторон треугольника ABC отмечены точки , ,  так, что , ,  . Тогда если точки , , , лежат на одной прямой, то pqr=-1.

102. Задача Эйлера

Задача Эйлера состоит из четырех пунктов. Необходимо доказать, что

1) Точки, симметричные точке Н пересечения высот треугольника относительно сторон треугольника, лежат на описанной окружности;

2) середины сторон, основания высот и середины отрезков, соединяющие точку Н с вершинами, лежат на одной окружности, центр которой лежит на отрезке, соединяющем Н и центр описанной окружности, а радиус её  в два раза меньше радиуса описанной окружности;

3) точка пересечения медиан лежит на отрезке, соединяющем Н с центром описанной окружности, и делит этот отрезок в отношении 1:2, считая от центра описанной окружности;

4) точки, симметричные центру описанной окружности относительно прямых, содержащие средние линии треугольника, лежат на окружности Эйлера.